הסטטיסטיקה של מבחן ה- t של התלמיד

מבחן ה- t של הסטודנט, בסטטיסטיקה, שיטה לבדיקת השערות לגבי הממוצע של מדגם קטן שנשאב מאוכלוסייה המופצת בדרך כלל כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה.

בשנת 1908 ויליאם סילי גוסת, אנגלי המפרסם תחת שם בדוי סטודנט, פיתח את מבחן ה- t והפצת. התפלגות t היא משפחה של עקומות בהן מספר דרגות החופש (מספר התצפיות הבלתי תלויות במדגם מינוס אחת) מציין עקומה מסוימת. ככל שגודל המדגם (וכך דרגות החופש) גדל, התפלגות t מתקרבת לצורת הפעמון של ההתפלגות הרגילה הרגילה. בפועל, לבדיקות הכוללות ממוצע של מדגם בגודל העולה על 30, לרוב מיושמת התפלגות רגילה.

בדרך כלל מקובל לנסח השערה אפסית, הקובעת כי אין הבדל אפקטיבי בין הממוצע המדגם שנצפה לבין ממוצע האוכלוסיה ההשערה או המוצהר - כלומר, כל הבדל מדוד נובע רק מהמקרה. במחקר חקלאי, למשל, ההשערה האפסית יכולה להיות כי ליישום דשן לא הייתה השפעה על תפוקת היבול, ובוצע ניסוי לבדיקה אם הוא הגביר את היבול. באופן כללי, מבחן t עשוי להיות דו-צדדי (נקרא גם דו-זנב), וקובע בפשטות כי האמצעים אינם שקולים, או חד-צדדיים, תוך ציון האם הממוצע הנצפה גדול או קטן יותר מהממוצע ההשערה. לאחר מכן מחושב נתון הבדיקה. אם הסטטיסטיקת t שנצפתה היא קיצונית יותר מהערך הקריטי שנקבע על ידי חלוקת ההתייחסות המתאימה, השערת האפס נדחית. התפלגות ההתייחסות המתאימה לנתון t היא חלוקת t. הערך הקריטי תלוי ברמת המשמעות של המבחן (ההסתברות לדחייה שגויה של השערת האפס).

לדוגמה, נניח שחוקר מעוניין לבדוק את ההשערה כי מדגם בגודל n = 25 עם ממוצע x = 79 וסטיית תקן s = 10 נמשך באקראי מאוכלוסייה עם ממוצע μ = 75 וסטיית תקן לא ידועה. בעזרת הנוסחה לסטטיסטיקה t, המחושב t שווה 2. לבדיקה דו צדדית ברמה משותפת של משמעות α = 0.05, הערכים הקריטיים החלוקה t על 24 מעלות חופש הם -2.064 ו- 2.064. ה- t המחושב אינו עולה על ערכים אלה, ולכן לא ניתן לדחות את השערת האפס בביטחון של 95 אחוז. (רמת הביטחון היא 1 - α.)

יישום שני של התפלגות t בוחן את ההשערה שלשתי דגימות אקראיות עצמאיות יש את אותו הממוצע. ניתן להשתמש בחלוקת t גם לבניית מרווחי ביטחון עבור הממוצע האמיתי של אוכלוסייה (היישום הראשון) או לצורך ההבדל בין שני אמצעי מדגם (היישום השני). ראה גם הערכת מרווח.