גיאומטריה אוקלידית
אם ניקח בחשבון את הגיאומטריה האוקלידית, אנו מבחינים בבירור שהיא מתייחסת לחוקים המסדירים את עמדותיהם של גופים נוקשים. זה מתייחס לחשבון במחשבה הגאונית להתחקות אחר כל היחסים הנוגעים לגופים ומיקומם היחסי למושג הפשוט ביותר "מרחק" (סטרצ'קה). מרחק מציין גוף נוקשה עליו צוינו שתי נקודות חומר (סימנים). המושג שוויון מרחקים (וזוויות) מתייחס לניסויים הכרוכים בצירוף מקרים; אותן הערות חלות על משפטי הלימה. כעת, הגיאומטריה האוקלידית, בצורה שהיא נמסרה לנו מאוקליד, משתמשת במושגי היסוד "קו ישר" ו"מטוס "שנראים כאילו אינם תואמים, או בכל מקרה, לא כל כך ישירות, עם חוויות לגבי עמדתם של גופים נוקשים. על זה יש לציין כי הרעיון של הקו הישר עשוי להיות מופחת לזה של המרחק.1 יתר על כן, גיאומטריסטים פחות עסקו בהצגת הקשר בין מושגי היסוד שלהם להתנסות מאשר בהסקת לוגית של ההצעות הגיאומטריות מכמה אקסיומות שהוגשו בתחילת הדרך.
נתאר בקצרה כיצד אולי ניתן להשיג את הבסיס לגאומטריה האוקלידית ממושג המרחק.
אנו מתחילים משוויון המרחקים (אקסיומה של שוויון המרחקים). נניח שבשני מרחקים לא שווים האחד תמיד גדול מהשני. אותן אקסיומות צריכות להחזיק עבור אי-שוויון המרחקים כמו אי-שוויון במספרים.
שלושה מרחקים AB 1, BC 1, CA 1 עשויים, אם ייבחרו CA CA 1 כראוי, להיות בעלי סימוני BB 1, CC 1, AA 1 זה על גבי זה בצורה שתוצג משולש ABC. למרחק CA 1 יש גבול עליון שעבורו זה עדיין אפשרי פשוט. הנקודות A, (BB ') ו- C שוכנות אז ב"קו ישר "(הגדרה). זה מוביל למושגים: הפקת מרחק בכמות השווה לעצמה; חלוקת מרחק לחלקים שווים; הבעת מרחק במונחים של מספר באמצעות מוט מדידה (הגדרת מרווח המרווח בין שתי נקודות).
כאשר מושג המרווח בין שתי נקודות או אורך המרחק הושג בדרך זו אנו דורשים רק את האקסיומה הבאה (משפט פיתגורס) על מנת להגיע לגיאומטריה האוקלידית באופן אנליטי.
לכל נקודת חלל (גוף התייחסות) ניתן להקצות שלושה, מספרים (קואורדינטות) x, y, z - ולהיפך - באופן כזה שלכל זוג נקודות A (x 1, y 1, z 1) ו- B (x 2, y 2, z 2) המשפט מכיל:
מדד-מספר AB = סקארוט {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
לאחר מכן ניתן לבנות את כל המושגים וההצעות הנוספות של הגיאומטריה האוקלידית על בסיס זה באופן הגיוני, בפרט גם את ההצעות לגבי הקו הישר והמישור.
הערות אלה אינן מיועדות, כמובן, להחליף את הבנייה האקסיומטית בהחלט של הגיאומטריה האוקלידית. אנו רק רוצים לציין באופן סביר כיצד ניתן לייחס את כל תפיסות הגיאומטריה לזו של המרחק. באותה מידה היינו יכולים להצביע על בסיס כל הגיאומטריה האוקלידית במשפט האחרון שלמעלה. היחס ליסודות ההתנסות יובא אז באמצעות משפט משלים.
ניתן לבחור את הקואורדינטה כך שיהיה אפשר לגרום לשני זוגות של נקודות המופרדות במרווחים שווים, כפי שחושבו בעזרת משפט פיתגורס, לחפוף זה עם מרחק זהה שנבחר מתאים (על מוצק).
המושגים וההצעות של הגיאומטריה האוקלידית עשויים להיות נגזרים מההצעה של פיתגורס ללא הכנסת גופים נוקשים; אך למושגים והצעות אלה לא יהיו אז תוכן שניתן היה לבדוק. אין מדובר בהצעות "אמיתיות" אלא רק בהצעות נכונות מבחינה לוגית של תוכן רשמי גרידא.
