השערת רצף, הצהרת תורת הקבוצות כי קבוצת המספרים האמיתיים (הרצף) היא במובן מסוים קטנה ככל שהיא יכולה להיות. בשנת 1873 הוכיח המתמטיקאי הגרמני גאורג קנטור שהרצף אינו ניתן לספור - כלומר המספרים האמיתיים הם אינסוף גדול יותר מאשר המספרים הספורים - תוצאה מרכזית בתחילת תורת הקבוצות כמקצוע מתמטי. יתר על כן, קנטור פיתח דרך לסווג את גודל הסטים האינסופיים לפי מספר האלמנטים שלה, או הקרדינליות שלה. (ראו תורת הקבוצות: קרדינליות ומספרים טרנס-סופיים.) במונחים אלה ניתן לומר את השערת הרצף כדלקמן: הקרדינליות של הרצף היא המספר הקרדינאלי הקטן ביותר שלא ניתן לספירה.
תיאוריית הקבוצות: קרדינליות ומספרים טרנס סופיים
השערה המכונה השערת הרצף.
בציון של קנטור ניתן לומר את השערת הרצף על ידי המשוואה הפשוטה 2 ℵ 0 = ℵ 1, כאשר ℵ 0 הוא המספר הקרדינלי של סט אינסופי לספירה (כמו קבוצת המספרים הטבעיים), ומספרי הקרדינלים של גדולים יותר " ערכות מסודרות היטב ”הן ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, באינדקס לפי המספרים הקבועים. ניתן להראות את קרדינליות הרצף כשווה ל- 2 ℵ 0; לפיכך, השערת הרצף פוסלת את קיומה של קבוצה של גודל ביניים בין המספרים הטבעיים לרצף.
אמירה חזקה יותר היא השערת הרצף הכללית (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 עבור כל מספר מסודר α. המתמטיקאי הפולני וואצלב סיירפינסקי הוכיח שעם GCH אפשר להפיק את האקסיומה שבחרה.
בדומה לאקסיומה שבחרה, המתמטיקאי האמריקני יליד אוסטריה קורט גאדל הוכיח בשנת 1939 כי אם שאר האקסיומות של סרמלו-פרנקל הסטנדרטיות (ZF; ראה את
טבלה) הם עקביים, אז הם לא מפריכים את השערת הרצף או אפילו GCH. כלומר, התוצאה של הוספת GCH לאקסיומות האחרות נותרה עקבית. ואז בשנת 1963 השלים המתמטיקאי האמריקני פול כהן את התמונה בכך שהראה, שוב תחת ההנחה ש- ZF עקבית, ש- ZF לא נותן הוכחה להשערת הרצף.
מכיוון ש- ZF לא מוכיח ולא מפריך את השערת הרצף, נותרה השאלה האם לקבל את השערת הרצף המבוססת על מושג לא פורמלי של מהן הסטים. התשובה הכללית בקהילה המתמטית הייתה שלילית: השערת הרצף היא אמירה מגבילה בהקשר בו אין שום סיבה ידועה להטיל גבול. בתורת הקבוצות, פעולת סט הכוח מקצה לכל קבוצה של קרדינליות ℵ α את מערך כל קבוצות המשנה שלה, שיש לה קרדינליות 2 ℵ α. נראה כי אין סיבה להטיל מגבלה על מגוון קבוצות המשנה שעלולות להיות לסט אינסופי.
