היסטוריה של ניתוח
היוונים נתקלים בעוצמות מתמשכות
ניתוח מורכב מאותם חלקים במתמטיקה שבהם חשוב שינוי מתמשך. אלה כוללים לימוד תנועה וגיאומטריה של עקומות ומשטחים חלקים - בפרט חישוב משיקים, אזורים ונפחים. מתמטיקאים יוונים קדומים התקדמו מאוד הן בתיאוריה והן בתרגול של ניתוח. התיאוריה נאלצה עליהם בערך 500 לפנה"ס על ידי התגלית הפיתגורסית בעוצמות לא הגיוניות וכ -450 לפסה"ס על ידי פרדוקס התנועה של זנו.
הפיתגוראים והמספרים הלא הגיוניים
בתחילה, הפיתגוראים האמינו שאפשר למדוד את כל הדברים לפי המספרים הטבעיים הנבדלים (1, 2, 3,
) ויחסיהם (שברים רגילים, או המספרים הרציונליים). אולם אמונה זו זועזעה מהגילוי כי האלכסון של ריבוע יחידה (כלומר ריבוע שצלעותיו אורך 1) אינו יכול לבוא לידי ביטוי כמספר רציונאלי. תגלית זו הובאה על ידי משפט פיתגורס משלהם, שקבע כי הכיכר בתנוחה המשולש הימני שווה לסכום המשבצות בשני הצדדים האחרים - בתשורה מודרנית, c 2 = 2 + b 2. בריבוע יחידה, האלכסון הוא היפוזיטוז המשולש הימני, כאשר הצדדים a = b = 1; לפיכך, המידה שלו היא שורש ריבועי של √2 - מספר לא הגיוני. כנגד כוונותיהם שלהם, הפיתגוראים הראו בכך כי מספרים רציונליים לא הספיקו למדידת עצמים גיאומטריים פשוטים. (ראו סרגל צדדי: חומרים בלתי נשכחים.) תגובתם הייתה ליצור אריתמטיקה של קטעי קו, כפי שנמצא בספר II של אלמנטים של אוקליד (כ -300 לפסה"ס), שכלל פרשנות גיאומטרית למספרים רציונליים. עבור היוונים, קטעי הקווים היו כלליים יותר ממספרים, מכיוון שהם כללו גודל מתמשך ונפרד.
אכן, שורש ריבועי של √2 יכול להיות קשור למספרים הרציונליים רק בתהליך אינסופי. את זה הבין אוקליד, שחקר את האריתמטיקה של מספרים רציונאליים וקטעי קו כאחד. האלגוריתם האוקלידידי המפורסם שלו, כשהוא מיושם על זוג מספרים טבעיים, מוביל במספר סופי של צעדים למחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. עם זאת, כאשר מיושמים על זוג מקטעי קו עם יחס לא הגיוני, כמו שורש ריבועי של √2 ו- 1, הוא לא מצליח להסתיים. אוקליד אפילו השתמש במאפיין ההשמדה הזה כקריטריון לחוסר הגיון. לפיכך, חוסר ההיגיון עורער תיגר על המושג המספר היווני בכך שאילץ אותם להתמודד עם תהליכים אינסופיים.
הפרדוקסים של זנו ומושג התנועה
כמו ששורש ריבועי של √2 היה אתגר לתפיסת המספר של היוונים, כך הפרדוקסים של זנו היו אתגר לתפיסת התנועה שלהם. בפיזיקה שלו (בערך 350 לפנה"ס) ציטט אריסטו את זנו באומרו:
אין תנועה מכיוון שמה שמוזן צריך להגיע לאמצע [הקורס] לפני שהוא מגיע בסוף.
טיעוניו של זנו ידועים רק באמצעות אריסטו, שציטט אותם בעיקר כדי להפריך אותם. יש להניח כי זנו התכוון שכדי להגיע לשום מקום צריך קודם לעבור חצי דרך ולפני אותו רבע הדרך ולפני אותו שמינית בדרך וכן הלאה. מכיוון שתהליך זה של חציית מרחקים יימשך לאינסוף (מושג שהיוונים לא היו מקבלים ככל האפשר), טען זנו "להוכיח" שהמציאות מורכבת מהוויה בלתי משתנה. ובכל זאת, למרות התיעוב שלהם מהאינסוף, היוונים גילו שהמושג חיוני במתמטיקה בעוצמות מתמשכות. אז הם חשבו על אינסוף כמה שיותר סופי, במסגרת הגיונית המכונה תורת הפרופורציות ושימוש בשיטת התשישות.
תורת הפרופורציות נוצרה על ידי יודוקסוס בערך 350 לפנה"ס ונשמרה בספר V של אלמנטים של אוקליד. היא יצרה קשר מדויק בין עוצמות רציונאליות לעוצמות שרירותיות על ידי הגדרת שני עוצמות להיות שוות אם העוצמות הרציונאליות פחות מהן היו זהות. במילים אחרות, שני סדר גודל היו שונים רק אם היה ביניהם גודל רציונלי. הגדרה זו שימשה מתמטיקאים במשך אלפיים שנה וסללה את הדרך להתמצאות הניתוח במאה ה -19, בה הוגדרו מספרים שרירותיים בקפדנות מבחינת המספרים הרציונליים. תורת הפרופורציות הייתה הטיפול הקפדני הראשון במושג הגבולות, רעיון שנמצא בבסיס הניתוח המודרני. במונחים מודרניים, התיאוריה של יודוקסוס הגדירה מגדלים שרירותיים כמגבלות של גודל רציונלי, ומשפטים בסיסיים לגבי הסכום, ההבדל ותוצר המגדלים היו שקולים למשפטים לגבי הסכום, ההבדל ותוצר הגבולות.
