יסודות המתמטיקה

תורת הקטגוריות

הפשטה במתמטיקה

נטייה אחת אחרונה להתפתחות המתמטיקה הייתה תהליך ההפשטה ההדרגתי. המתמטיקאי הנורווגי נילס הנריק הבל (1802–292) הוכיח כי לא ניתן לפתור משוואות של התואר החמישי באופן כללי על ידי רדיקלים. המתמטיקאי הצרפתי Évariste Galois (1811–32), שהונע בחלקו על ידי עבודתו של הבל, הציג קבוצות מסוימות של פרמוטציות כדי לקבוע את התנאים הדרושים לכך שמשוואת פולינום תיפתר. קבוצות קונקרטיות אלה הולידו במהרה קבוצות מופשטות, שתוארו בצורה אקסיומטית. ואז התברר שכדי ללמוד קבוצות היה צורך להסתכל על הקשר בין קבוצות שונות - בפרט על ההומומורפיזמות שממפות קבוצה אחת לשנייה תוך שמירה על פעולות הקבוצה. כך אנשים התחילו ללמוד מה שמכונה כיום הקטגוריה הקונקרטית של קבוצות, שהאובייקטים שלהן קבוצות והחצים שלהם הם homomorphism. לא לקח זמן רב עד שהקטגוריות הקונקרטיות הוחלפו בקטגוריות מופשטות, שתוארו שוב בצורה אקסיומטית.

הרעיון החשוב לקטגוריה הוצג על ידי סמואל אילנברג וסאנדרס מק ליין בתום מלחמת העולם השנייה. יש להבדיל בין קטגוריות מודרניות אלה מהקטגוריות של אריסטו, שנקראות טוב יותר סוגים בהקשר הנוכחי. בקטגוריה יש לא רק עצמים, אלא גם חצים (המכונים גם מורפיזם, טרנספורמציה או מיפוי) ביניהם.

קטגוריות רבות כוללות בתור אובייקטים סטים עם כמה מבנים וחצים, המשמרים מבנה זה. אם כן, קיימות הקטגוריות של קבוצות (עם מבנה ריק) ומיפויים, של קבוצות והומומורפיזיות קבוצתיות, של טבעות והומומורפיזות טבעתיות, של חללים וקטוריים וטרנספורמציות לינאריות, של חללים טופולוגיים ומיפויים רציפים וכן הלאה. קיימת, אפילו ברמה מופשטת יותר, את הקטגוריות הקטנות (הקטנות) והפונקטורים, כפי שמכונים המורפיזמות בין הקטגוריות, המשמרות מערכות יחסים בין העצמים והחצים.

לא ניתן לראות את כל הקטגוריות בצורה קונקרטית זו. לדוגמא, ניתן לראות את הנוסחאות של מערכת דדוקטיבית כאובייקטים של קטגוריה שחבריה f: A → B הם ניכויים של B מא '. למעשה, נקודת מבט זו חשובה במדעי המחשב התיאורטי, שם חושבים נוסחאות על כסוגים וניכויים כפעולות.

באופן רשמי יותר, קטגוריה מורכבת מ (1) אוסף של חפצים A, B, C,…, (2) עבור כל זוג אובייקטים שהוזמן באוסף אוסף טרנספורמציות משויך כולל זהות I _A ∶ A → A, ו- (3) חוק הקומפוזיציה המשויך לכל משולש אובייקטים מסודר בקטגוריה כך ש f ∶ A → B ו- g ∶ B → C הרכב gf (או g ○ f) הוא טרנספורמציה מ- A ל- C - כלומר, gf ∶ A → C. בנוסף, החוק האסוציאטיבי והזהויות נדרשים להחזיק (שם הקומפוזיציות מוגדרות) -ie, h (GF) = (HG) F ו 1 _B f = F = F1.

במובן מסוים, לאובייקטים של קטגוריה מופשטת אין חלונות, כמו המונדות של לייבניץ. כדי להסיק את פנים אובייקט A צריך להסתכל רק על כל החצים מאובייקטים אחרים ל- A. לדוגמה, בקטגוריית הסטים, אלמנטים של קבוצה A עשויים להיות מיוצגים על ידי חצים מקבוצת אלמנט טיפוסית ל- A. באופן דומה, בקטגוריית קטגוריות קטנות, אם 1 היא בקטגוריה עם אובייקט אחד ולא חיצי nonidentity, האובייקטים של קטגוריה עשויים להיות מזוהים עם functors 1 →. יתר על כן, אם 2 היא בקטגוריה עם שני חפצי חץ אחד nonidentity, החצים של עשויים להיות מזוהים עם functors 2 →.

מבנים איזומורפיים

של F חץ: A → B נקרא איזומורפיזם אם קיים g חץ: B → A הפוך F-כלומר, כזה גרם ○ f = 1 ו- F ○ g = 1 _B. זה כתוב A ≅ B, ו- A ו- B נקראים איזומורפיים, כלומר יש להם בעצם אותו מבנה ושאין צורך להבדיל ביניהם. מכיוון שישויות מתמטיות הן מושא לקטגוריות, הן ניתנות רק עד לאיזומורפיזם. הקונסטרוקציות המסורתיות-תיאורטיות שלהם, מלבד הגשה של מטרה מועילה להפגנת עקביות, אינן רלוונטיות באמת.

לדוגמה, בבנייה הרגילה של טבעת מספרים שלמים, מספר שלם מוגדר ככיתה שקילות של זוגות (m, n) של מספרים טבעיים, כאשר (m, n) שווה ל- (m ′, n ′) אם ו רק אם m + n ′ = m ′ + n. הרעיון הוא שיש לראות במעמד השקילות של (m, n) כ- m - n. עם זאת, מה שחשוב לקטגוריסט הוא כי הטבעת ℤ של מספרים שלמים היא אובייקט ראשוני בקטגוריית הטבעות וההומומורפיזמים - כלומר, עבור כל טבעת ℝ יש הומומורפיזם ייחודי ℤ → ℝ. נראה בדרך זו, ℤ מוותר רק על איזומורפיזם. באותה רוח, יש לומר שלא ש ℤ כלול בשדה ℚ של מספרים רציונאליים אלא רק שההומומורפיזם ℤ → ℚ הוא אחד לאחד. באופן דומה, אין הגיון לדבר על הצומת התיאורטי-סטטי של π ושורש ריבועי של √1, אם שניהם באים לידי ביטוי כסטים של קבוצות סטים (ad infinitum).

מעניינים במיוחד ביסודות ובמקומות אחרים הם פונקטורים סמוכים (F, G). מדובר בזוגות של פונקציות בין שתי קטגוריות ? ו- ℬ, שהולכות בכיוונים מנוגדים כך שקיימת התאמה של אחד לאחד בין קבוצת החצים F (A) → B ב ℬ לבין קבוצת החצים A → G (B) ב ? - כלומר, כך שהסטים הם איזומורפיים.