היגיון רשמי

טבלאות סמנטיות

מאז שנות השמונים טכניקה אחרת לקביעת תוקף של טיעונים במחשבים אישיים או ב- LPC זכתה לפופולריות מסוימת, הן בגלל קלות הלמידה שלה והן מיישומם בפשטות על ידי תוכנות מחשב. במקור הוצע על ידי הלוגיקן ההולנדי אברט וו. בת ', הוא פותח ומפורסם יותר על ידי המתמטיקאי והלוגיקן האמריקני ריימונד מ. סמוליאן. בהסתמך על התצפית כי אי אפשר שהנחות היסוד של טיעון תקף יהיו נכונות בזמן שהמסקנה שגויה, שיטה זו מנסה לפרש (או להעריך) את הנחות היסוד באופן שכולם מרוצים בו זמנית ושלילת ה המסקנה גם מרוצה. הצלחה במאמץ כזה תראה שהטיעון אינו תקף, ואילו אי מציאת פרשנות כזו תראה שהוא תקף.

בניית טבלה סמנטית מתבצעת כדלקמן: מבטאים את הנחות היסוד והשלילה של סיום טיעון במחשב האישי תוך שימוש רק בשלילה (∼) וניתוק (∨) כקישוריות הצעה. מחק כל התרחשות של שני סימני שלילה ברצף (למשל, ∼∼∼∼∼a הופך ל- ∼a). כעת בנה תרשים עץ המסתעף כלפי מטה כך שכל צירוף מוחלף על ידי שני ענפים, אחד לחיבור השמאלי ואחד לימין. ההתייחסות המקורית נכונה אם אחד הסניפים הוא נכון. התייחסות לחוקיו של דה מורגן מראה כי שלילת צירוף נכונה למקרה שהשליליות של שני התפרקויות נכונות [כלומר, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. התבוננות סמנטית זו מובילה לכלל כי שלילת צירוף הופכת לענף אחד המכיל שלילה של כל דיסונקט:

שקול את הטענה הבאה:

כתוב:

כעת נסה את הצירוף ויצרו שני ענפים:

רק אם כל המשפטים בענף אחד לפחות נכונים, יתכן שהנחות המקוריות נכונות והמסקנה שקרית (באופן שווה לשלילת המסקנה). על ידי התחקות אחר הקו כלפי מעלה בכל ענף לראש העץ, ניתן לשים לב ששום הערכה של a בענף השמאלי לא תביא לכך שכל המשפטים באותו ענף יקבלו את הערך האמיתי (בגלל נוכחות a ו- ∼a). באופן דומה, בסניף הימני נוכחות של b ו- makesb לא מאפשרת הערכת שווי לגרום לכל עונשי הסניף לקבל את הערך נכון. אלה כל הענפים האפשריים; לפיכך, אי אפשר למצוא מצב בו הנחות היסוד נכונות והמסקנה שגויה. לפיכך, הטענה המקורית תקפה.

ניתן להרחיב טכניקה זו כדי להתמודד עם קישוריות אחרות:

יתר על כן, ב- LPC יש להכניס כללים ליישום wffs כמתיים. ברור, כל ענף המכיל גם ()x) ϕx וגם ∼ϕy הוא אחד בו לא ניתן לספק סיפוק בכל המשפטים בו זמנית (תחת ההנחה של עקביות;; ראה מטאלוגי). שוב, אם כל הסניפים לא מצליחים להיות בו-זמניים בשביעות רצון, הטענה המקורית תקפה.

מערכות מיוחדות של LPC

ניתן לשנות את LPC כמפורט לעיל על ידי הגבלה או הרחבה של טווח ה- wffs בדרכים שונות:

• 1. מערכות לחימה של LPC. להלן כמה מהמערכות החשובות יותר המיוצרות על ידי הגבלה:

  • יתכן ונדרש כי כל משתנה קדום יהיה מונדי תוך מתן אפשרות למספר אינסופי של משתנים פרטניים וקדמיים. ה- wffs האטומי הוא פשוט אלה המורכבים ממשתנה קדומה ולאחריה משתנה בודד יחיד. אחרת, כללי ההרכבה נשארים כמו קודם, והגדרת התוקף היא גם כקודמת, אם כי מפושטת בדרכים ברורות. מערכת זו ידועה בשם LPC המונדי; זה מספק היגיון של תכונות אך לא של יחסים. מאפיין חשוב אחד של מערכת זו הוא שניתן להחליט. (הכנסת אפילו משתנה קודאדי דיאדי יחיד, עם זאת, הייתה הופכת את המערכת לבלתי ניתנת להחלטה, ולמעשה, אפילו המערכת שמכילה רק משתנה קודאדי דיאדי יחיד וללא משתנים קודמים אחרים הוכחה כלא ניתן לביטול.)

  • מערכת BA עדיין פשוטה יותר יכולה להיווצר על ידי דרישה (1) כי כל משתנה קדום יהיה מונדי, (2) שיש להשתמש רק במשתנה בודד יחיד (למשל, x), (3) לכל התרחשות של משתנה זה להיות מחויב, ו (4) ששום כמתן אינו מתרחש בתחום של אחר. דוגמאות ל- wffs של מערכת זו הן (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("מה שיש ϕ הוא גם ψ וגם χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("יש משהו שהוא ϕ אבל לא ψ"); ו- (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("אם כל מה שיש ϕ זה ψ, אז משהו הוא גם ϕ וגם ψ"). ניתן לפשט את הסימון למערכת זו על ידי השמטת x בכל מקום וכתיבה ∃ϕ עבור "משהו הוא” ", ∀ (ϕ ⊃ ψ) עבור" כל מה שיש ϕ הוא ψ, "וכן הלאה. למרות שמערכת זו היא בסיסית יותר אפילו מה- LPC המונאדי (שהוא שבר), ניתן לייצג בה צורות של מגוון רחב של מסקנות. זוהי גם מערכת ניתנת להחלטה, וניתן לתת לה נהלי החלטה מסוג אלמנטרי.

• 2. הרחבות של LPC. מערכות מורחבות יותר, בהן ניתן לבטא מגוון רחב יותר של הצעות, נבנו על ידי הוספת ל- LPC סמלים חדשים מסוגים שונים. הבהירות מבין תוספות כאלה הן:

  • א. קבועים בודדים או יותר (נניח, א, ב,

    ): קבועים אלה מתפרשים כשמות של אנשים ספציפיים; באופן רשמי הם נבדלים בין משתנים בודדים על ידי העובדה שהם אינם יכולים להתרחש בתוך כימות; למשל, (∀x) הוא כמת אך (∀a) אינו.

  • קבועים קבועים מראש או יותר (נניח, א, ב,

    ), כל אחת מהתארים שצוינה, נחשבת כמייחסת תכונות או יחסים ספציפיים.

תוספת אפשרית נוספת, הקוראת להסבר קצת יותר מלא, מורכבת מסמלים המיועדים לעמוד בפני פונקציות. רעיון הפונקציה עשוי להיות מוסבר מספיק למטרות הנוכחיות כדלקמן. אומרים שיש פונקציה מסוימת של n טיעונים (או, במידה n) כאשר יש כלל שמציין אובייקט ייחודי (הנקרא ערך הפונקציה) בכל פעם שצוינו כל הארגומנטים. בתחום של בני אדם, למשל, "האם של -" היא פונקציה מונאדית (פונקציה של טיעון אחד), שכן לכל אדם יש אדם ייחודי שהוא אמו; ובתחום המספרים הטבעיים (כלומר 0, 1, 2,

), "סכום של - ו -" הוא פונקציה של שני טיעונים, שכן עבור כל זוג של מספרים טבעיים יש מספר טבעי שהוא הסכום שלהם. ניתן לחשוב על סמל פונקציה ככונן שם משמות אחרים (טיעוניו); לפיכך, בכל פעם שמספרי שמות של x ו- y, "סכום ה- x ו- y" מציין גם מספר, ובדומה לסוגים אחרים של פונקציות וטיעונים.

כדי לאפשר ביטויים של פונקציות ב- LPC יתכן שנוספו:

• ג. משתני פונקציה או יותר (נניח, f, g,

  ) או קבוע פונקציה אחד או יותר (נניח, F, G,

  ) או שניהם, כל אחד מהתואר שצוין. הראשונים מתפרשים כמתפרשים על פני פונקציות של התארים שצוינו והאחרונים כמייעדים פונקציות ספציפיות של אותה תואר.

כאשר כל A-c או חלקו כולו מתווספים ל- LPC, יש לשנות את כללי ההרכבה הרשומים בפסקה הראשונה של החלק שבחשבון הקודקוד התחתון (ראה לעיל. חשבון ה- predicate התחתון) כדי לאפשר את שילוב הסמלים החדשים wffs. ניתן לעשות זאת כדלקמן: מונח מוגדר תחילה כ (1) משתנה אינדיבידואלי או (2) קבוע אינדיבידואלי או (3) כל ביטוי שנוצר על ידי קידומת משתנה פונקציה או קבוע פונקציה של תואר n לכל מונח n (מונחים אלה - טיעוני סמל הפונקציה - מופרדים בדרך כלל באמצעות פסיקים וסוגרים בסוגריים). לאחר מכן מתחלף כלל העיצוב 1:

• 1′. ביטוי המורכב ממשתנה קדומה או קבוע predicate של תואר n ואחריו n מונחים הוא wff.

הבסיס האקסיומטי שניתן בפרק על האקסיומטיזציה של LPC (ראו לעיל אקסיומטיזציה של LPC) מחייב גם את השינוי הבא: בסכימת האקסיומה 2 כל מונח רשאי להחליף a כאשר נוצר β, בתנאי ששום משתנה שאינו חופשי בתוך מונח מתחייב ב- β. הדוגמאות הבאות ימחישו את השימוש בתוספות שהוזכרו לעיל ל- LPC: תן לערכים של המשתנים הבודדים להיות המספרים הטבעיים; תן לקבועים האישיים a ו- b לעמוד על המספרים 2 ו -3, בהתאמה; תן לאמצעי "להיות ראשוני"; ותן ל- F לייצג את הפונקציה הדיאדית "סכום של." ואז AF (a, b) מבטאת את ההצעה "הסכום של 2 ו- 3 הוא ראשוני," ו- (∃x) AF (x, a) מבטאת את ההצעה "קיים מספר כזה שהסכום שלו ו- 2 הוא פריים."

הכנסת קבועים מלווה בדרך כלל על ידי תוספת לבסיס האקסיומטי של אקסיומות מיוחדות המכילות אותם קבועים, שנועדו לבטא עקרונות המחזיקים באובייקטים, בתכונות, ביחסים או בפונקציות המיוצגים על ידם - אם כי הם אינם מחזיקים באובייקטים, בתכונות, יחסים או פונקציות באופן כללי. יתכן ויוחלט, למשל, להשתמש ב- A קבוע כדי לייצג את הקשר הדיאדי "גדול מ" (כך שאמסי פירושו של "אקס הוא גדול מ y" וכן הלאה). קשר זה, בניגוד לרבים אחרים, הוא מעבר; כלומר, אם אובייקט אחד גדול משנייה והשני זה בתורו גדול משליש, הראשון הוא גדול יותר משליש. מכאן שניתן להוסיף את סכמת האקסיומה המיוחדת הבאה: אם t ₁, t ₂ ו- t ₃ הם מונחים כלשהם, אז (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ ב- ₁ t ₃ הוא אקסיומה. באמצעים כאלה ניתן לבנות מערכות לביטוי המבנים ההגיוניים של דיסציפלינות מסוימות שונות. התחום בו נעשתה רוב העבודות מהסוג הזה הוא של חשבון טבעי.

PC ו- LPC משולבים לעיתים למערכת יחידה. ניתן לעשות זאת בצורה הפשוטה ביותר על ידי הוספת משתני הצעה לרשימת פרימיטיביות ה- LPC, הוספת כלל היצירה לאפקט שמשתנה הצעה העומדת לבד היא WFF ומחיקת "LPC" בסכימה של אקסיומה 1. זה מניב כ- wffs ביטויים כאלה. כמו (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx ו- (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3. LPC עם זהות. לא תמיד משתמשים במילה "הוא" באותו אופן. בהצעה כדוגמת (1) "סוקרטס הוא חוטם באף", הביטוי שלפני "הוא" מציין שמות של אדם והביטוי שבעקבותיו הוא נכס המיוחס לאותו אדם. אבל, בהצעה כמו (2) "סוקרטס הוא הפילוסוף האתונאי ששתה המקל", הביטויים שקדמו ובעקבות ה"הוא "שניהם מכנים יחידים, ותחושת ההצעה כולה היא שהאדם שנקרא על ידי הראשון הוא אותו אדם כמו האדם ששמו נקרא על ידי השני. לפיכך, ב 2 "הוא" ניתן להרחיב ל "הוא אותו אינדיביד כמו", ואילו ב- 1 זה לא יכול. כפי שנהוג להשתמש ב -2, "הוא" מהווה יחס דיאדי - כלומר זהות - שההצעה טוענת להחזיק בין שני הפרטים. יש להבין את הצעת הזהות בהקשר זה כטענה לא יותר מכך; במיוחד אין להתייחס אליו כטענה כי לשני הביטויים של השמות יש משמעות זהה. דוגמה שנדונה רבות להמחשת נקודה אחרונה זו היא "כוכב הבוקר הוא כוכב הערב." זה לא נכון שהביטויים "כוכב הבוקר" ו"כוכב הערב "פירושם זהים, אבל זה נכון שהאובייקט אליו מפנה הראשון הוא זהה לזה שאליו התייחס האחרון (כוכב הלכת ונוס).

כדי לאפשר ביטוי של צורות של הצעות זהות, מתווסף LPC קבוע קודקוד דיאדי, שעבורו הסימון הרגיל ביותר הוא = (כתוב בין טיעוניו, ולא לפני כן). הפרשנות המיועדת ל- x = y היא ש- x הוא אותו אינדיבידואל כמו y, והקריאה הנוחה ביותר היא "x זהה ל- y." שלילתו ∼ (x = y) מקוצרת לרוב כ- x ≠ y. להגדרה של מודל LPC שניתנו קודם לכן (ראו לעיל תוקף ב- LPC) כעת מתווסף הכלל (המסכים באופן ברור עם הפרשנות המיועדת) כי הערך של x = y הוא להיות 1 אם אותו חבר ב- D מוקצה הן ל- x והן ל- y וכי אחרת ערכו הוא 0; לאחר מכן ניתן להגדיר תוקף כבעבר. התוספות הבאות (או כמה מהן שקולות) מבוצעות לבסיס האקסיומטי ל- LPC: האקסיומה x = x וסכמת האקסיומה, כאשר a ו- b הם כל משתנים בודדים ו- α ו- ß הם wffs הנבדלים זה מזה בלבד, ב אחד או יותר מקומות שבהם ל- α יש התרחשות חופשית של a, ל- β יש התרחשות חופשית של b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) הוא אקסיומה. מערכת כזו ידועה בשם חשבון קוד נמוך יותר עם זהות; ניתן כמובן להוסיף להרחבה נוספת בדרכים האחרות שהוזכרו לעיל ב"רחבות של LPC ", ובמקרה כזה כל מונח יכול להיות טיעון של =.

זהות היא יחס שקילות; כלומר, זה רפלקסיבי, סימטרי וטרנסיבי. הרפלקסיביות שלו באה לידי ביטוי ישירות באקסיומה x = x, וניתן לגזור בקלות את המשפטים המבטאים את הסימטריה והמעבר שלהם מהבסיס שניתן.

הצעות מסוימות של הצעות LPC עם זהות מבטאות את מספר הדברים שיש להם נכס נתון. "לפחות דבר אחד הוא ϕ", כמובן, זה יכול היה לבוא לידי ביטוי כבר באמצעות (∃x) ϕx; "לפחות שני דברים נבדלים (לא מזוהים) הם ϕ" יכולים לבוא לידי ביטוי על ידי (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); וניתן להמשיך ברצף בצורה מובנת מאליה. "לכל היותר דבר אחד הוא ϕ" (כלומר, "אין שני דברים מובחנים שניהם ϕ") יכולים לבוא לידי ביטוי על ידי שלילת ה- wff האחרון שהוזכר או על ידי המקבילה שלו, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], וניתן להמשיך בקלות את הרצף. נוסחה ל"דבר אחד הוא one "יכולה להיות מושגת על ידי צירוף הנוסחאות ל"פחות דבר אחד הוא ϕ" ו" לכל היותר דבר אחד הוא ϕ ", אך WFF פשוט יותר המקביל לחיבור זה הוא (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], שפירושו "יש משהו שהוא ϕ, וכל מה שהוא ϕ זה הדבר הזה." ההצעה "בדיוק שני דברים הם ϕ" יכולה להיות מיוצגת על ידי (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; כלומר, "ישנם שני דברים לא ידועים שכל אחד מהם הוא and, וכל מה שהוא ϕ זה אחד או אחר של אלה." ברור שאפשר להרחיב את הרצף הזה כדי לתת נוסחה ל"הדברים בדיוק הם ϕ "עבור כל מספר טבעי n. נוח לקצר את ה- wff ל"דבר אחד בדיוק הוא ϕ "ל- (∃! X) ϕx. הכימות המיוחד הזה נקרא לעיתים קרובות בקול "E-Shriek x."

תיאורים מוגדרים

כאשר מאפיין מסוים ϕ שייך לאובייקט אחד ורק אחד, נוח לקבל ביטוי שמכנה את האובייקט הזה. סימון נפוץ למטרה זו הוא (ιx) ϕx, אשר עשוי להיקרא "הדבר שהוא ϕ" או בקצרה יותר "ה“. " באופן כללי, כאשר a הוא כל משתנה אינדיבידואלי ו α הוא כל wff, (ιa) α אז הוא עומד בערך היחיד של a שהופך את α לאמת. ביטוי של הצורה "כך וכך" נקרא תיאור מוגדר; ו (ιx), המכונה מפעיל תיאור, ניתן לחשוב שהוא יוצר שם של אדם מתוך טופס הצעה. (ιx) מקביל לכמת בכך שכאשר מקודמים אותו ל- wff α, הוא קושר כל התרחשות חופשית של x ב- α. אפשר גם להוסיף מחדש של משתנים קשורים; במקרה הפשוט ביותר, (ιx) ϕx ו- (ιy) ϕy ניתן לקרוא כל אחד מהם פשוט בשם "ה ϕ."

בכל הקשור לכללי ההרכבה, ניתן לשלב תיאורים מוגדרים ב- LPC על ידי מתן ביטויים של הצורה (ιa) α לספור כמונחים; כלל 1 ′ לעיל, ב"רחבות של LPC ", יאפשר להם להתרחש בנוסחאות אטומיות (כולל נוסחאות זהות). "ה- ϕ הוא (כלומר, יש לו את המאפיין) ψ" ניתן לבטא אז כ- ψ (ιx) ϕx; "Y הוא (אותו אדם כמו) ה- ϕ" כמו y = (ιx) ϕx; "ה- ϕ הוא (אותו אינדיבידואל כמו) ה- ψ" כמו (ιx) ϕx = (ιy) ψy; וכן הלאה.

הניתוח הנכון של ההצעות המכילות תיאורים מוגדרים היה נושא למחלוקת פילוסופית ניכרת. אולם, תיאור מקובל נרחב - בעיקרו של דבר שהוצג ב- Principia Mathematica ומכונה תיאוריית התיאורים של ראסל - טוען כי "יש להבין את ה"הוא" כמשמעות שדבר אחד בדיוק הוא ", והדבר הזה הוא גם". במקרה זה זה יכול לבוא לידי ביטוי באמצעות wff של LPC עם זהות שלא מכיל מפעילי תיאור - כלומר (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. באופן אנלוגי, "y הוא ה- ϕ" מנותח כ- "y הוא ϕ ושום דבר אחר אינו ϕ" ומכאן שבא לידי ביטוי על ידי (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "ה ϕ הוא ה ψ" מנותח כ"דבר אחד בדיוק הוא ϕ, דבר אחד הוא בדיוק ψ, וכל מה שהוא ϕ הוא ψ "ומכאן שניתן לבטאו על ידי (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). then (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx ו- (ιx) ϕx = (ιy) ψy יכולים להיחשב כקיצורים עבור (1), (2) ו- (3) בהתאמה; ובהכללה למקרים מורכבים יותר, ניתן לראות בכל ה- WFFs המכילים מפעילי תיאור קיצורים עבור WFFs ארוכים יותר שאינם.

הניתוח שמוביל ל- (1) כנוסחה ל"ה- ϕ הוא ψ "מוביל להלן עבור" ה- ϕ אינו ψ ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. חשוב לציין כי (4) איננו שלילה של (1); שלילה זו היא, במקום זאת, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. ההבדל במשמעות בין (4) ל- (5) נעוץ בעובדה ש- (4) נכון רק כאשר יש בדיוק דבר אחד שהוא ϕ והדבר הזה אינו ψ, אבל (5) נכון גם במקרה זה וגם גם כאשר שום דבר אינו ϕ וכאשר יותר מדבר אחד הוא ϕ. הזנחת ההבחנה בין (4) ל- (5) עלולה לגרום לבלבול מחשבה רציני; בדיבור רגיל לרוב לא ברור אם מי שמכחיש ש- ϕ הוא ψ מודה שדבר אחד בדיוק הוא ϕ אבל מכחיש שהוא is, או מכחיש שדבר אחד בדיוק הוא ϕ.

הטענה הבסיסית של תיאוריית התיאורים של ראסל היא כי אין להתייחס להצעה המכילה תיאור מוגדר כטענה לגבי אובייקט שהתיאור הזה הוא שם אלא כקביעה כמותית קיומית שיש לנכס מסוים (מורכב למדי) מופע. באופן רשמי, הדבר בא לידי ביטוי בכללי ביטול מפעילי התיאור שפורטו לעיל.