בעיית Sturm-Liouville, או בעיית ערך עצמי, במתמטיקה, סוג מסוים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות (PDE) בכפוף לאילוצים נוספים, המכונים ערכי גבול, על הפתרונות. משוואות כאלו נפוצות הן בפיזיקה הקלאסית (למשל, הולכה תרמית) והן במכניקת הקוונטים (למשל, משוואת שרדינגר) כדי לתאר תהליכים שבהם ערך חיצוני כלשהו (ערך גבול) מוחזק קבוע ואילו מערכת העניין משדרת צורה כלשהי של אנרגיה.
באמצע שנות ה -30 של המאה העשרים התמודדו המתמטיקאים הצרפתים צ'רלס-פרנסואה שטורם וג'וזף ליובויל באופן עצמאי על בעיית הולכת החום דרך מוט מתכת, תוך כדי פיתוח טכניקות לפיתרון מחלקה גדולה של PDEs, שהפשוטות בהן לובשות צורה [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 כאשר y הוא כמות פיזית כלשהי (או פונקציית הגל המכני הקוונטי) ו- λ הוא פרמטר, או ערך עצמי, המגביל את המשוואה כך ש- y מספק את ערכי הגבול בנקודות הקצה של המרווח עליו משתנה x. אם הפונקציות p, q ו- r עומדות בתנאים מתאימים, למשוואה תהיה משפחה של פתרונות, הנקראים פונקציות עצמיות, המתאימות לפתרונות ערך הערך העצמי.
עבור המקרה הלא-הומוגני המסובך יותר, בו הצד הימני של המשוואה לעיל הוא פונקציה, f (x), ולא אפס, ניתן להשוות את הערכים העצמאיים של המשוואה ההומוגנית המתאימה עם ערכי העצמאות של המשוואה המקורית. אם ערכים אלה שונים, לבעיה יהיה פיתרון ייחודי. מצד שני, אם אחד מאותם ערכים עצמיים תואם, לבעיה אין פיתרון או משפחת פתרונות שלמה, תלוי בתכונות הפונקציה f (x).
