מתמטיקה של רימן זיטה

פונקצית Riemann zeta, פונקציה מועילה בתורת המספרים לחקירת תכונות של מספרים ראשוניים. נכתב כ- ζ (x), הוא הוגדר במקור כסדרה האינסופיתζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. כאשר x = 1, סדרה זו נקראת הסדרה ההרמונית, הגוברת ללא גבול - כלומר הסכום שלה אינסופי. לערכים של x גדולים מ -1, הסדרה מתכנסת למספר סופי ככל שנוספים מונחים רצופים. אם x פחות מ -1, הסכום שוב אינסופי. פונקציית הזיטה הייתה ידועה למתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר בשנת 1737, אך היא נחקרה לראשונה בהרחבה על ידי המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן.

בשנת 1859 פרסם רימן מאמר ובו נוסחה מפורשת למספר הפרימיים עד לכל גבול שהוקצה מראש - שיפור מוחלט ביחס לערך המשוער שניתן על ידי משפט המספרים הראשוני. עם זאת, הנוסחה של רימן הייתה תלויה בהכרת הערכים שבהם גרסה כללית של פונקציית הזיטה שווה לאפס. (הפונקציה Riemann zeta מוגדרת עבור כל המספרים המורכבים - מספרים של הטופס x + iy, כאשר i = שורש ריבועי של √ 1 - פרט לקו x = 1.) רימן ידע שהפונקציה שווה לאפס לכל השלילי, אפילו מספרים שלמים −2, −4, −6,

(מה שמכונה אפסים טריוויאליים), וכי יש לו מספר אינסופי של אפסים ברצועה הקריטית של המספרים המורכבים בין השורות x = 0 ו- x = 1, והוא גם ידע שכל האפסים הלא-פרטיים הם סימטריים ביחס לקריטיים קו x = ¹ / ₂. רימן העלה על דעתו כי כל האפסים הלא-פרטיים נמצאים בקו הקריטי, השערה שהתפרסמה לאחר מכן כהשערת רימן.

בשנת 1900 כינה המתמטיקאי הגרמני דייוויד הילברט את השערת רימן אחת השאלות החשובות ביותר בכל המתמטיקה, כפי שעולה מכלילתו ברשימה המשפיעת שלו על 23 בעיות לא פתורות עימם הוא קרא תיגר על המתמטיקאים של המאה העשרים. בשנת 1915 הוכיח המתמטיקאי האנגלי גודפרי הרדי שמספר אינסופי של אפסים מתרחש בקו הקריטי, ובשנת 1986 הוכחו שכולם 1,500,000,001 אפסים לא-פרטיים הם בקו הקריטי. למרות שההשערה עדיין עשויה להתברר כשקרית, חקירות של בעיה קשה זו העשירו את ההבנה של מספרים מורכבים.