השערת רימן, בתיאוריית המספרים, השערה של המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן בדבר מיקום הפתרונות לפונקציית רימן זטה, הקשורה למשפט המספרים הראשוניים ויש לו השלכות חשובות על התפלגות מספרים ראשוניים. רימן כלל את ההשערה במאמר, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("על מספר המספרים הראשונים פחות מכמות נתונה"), שפורסם במהדורת נובמבר 1859 של Monatsberichte der Berliner Akademie ("ביקורת חודשית" של האקדמיה בברלין ").
פונקציית הזיטה מוגדרת כסדרה אינסופית ζ (ים) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, או, בסימון קומפקטי יותר, , שם הסיכום (Σ) של המונחים עבור n עובר מ -1 לאינסוף דרך מספרים שלמים וחיוביים הוא מספר שלם חיובי קבוע שגדול יותר מ 1. פונקציית הזטה נחקרה לראשונה על ידי המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר במאה ה -18. (מסיבה זו היא נקראת לפעמים פונקציית זילר אוילר. מסיבה ζ (1), סדרה זו היא פשוט הסדרה ההרמונית, הידועה מאז ימי קדם להתגבר ללא גבול - כלומר הסכום שלה אינסופי.) אוילר השיג תהילה מיידית כשהוא הוכיח ב 1735 כי ζ (2) = π 2 /6, בעיה שחמקה מגדולי המתמטיקאים של עידן, כולל משפחת ברנולי שוויצרי (Jakob, יוהן, ודניאל). באופן כללי יותר, גילה אוילר (1739) קשר בין הערך של פונקציית הזיטה עבור מספרים שלמים אפילו למספרי ברנולי, שהם המקדמים בהתפשטות סדרת טיילור של x / (e x - 1). (ראו גם פונקציה מעריכית.) מדהים עוד יותר, בשנת 1737 גילה אוילר נוסחה הנוגעת לפונקציית הזיטה, הכוללת סיכום רצף אינסופי של מונחים המכילים את המספרים השלמים החיוביים, ומוצר אינסופי הכולל כל מספר ראשוני:
רימן הרחיב את המחקר על פונקציית הזיטה כך שיכלול את המספרים המורכבים x + iy, כאשר i = שורש ריבועי של √ 1, למעט הקו x = 1 במישור המורכב. רימן ידע שפונקציית הזיטה שווה לאפס עבור כל המספרים השליליים השווים −2, −4, −6,
(מה שמכונה אפסים טריוויאליים) ושיש לו מספר אינסופי של אפסים ברצועה הקריטית של מספרים מורכבים הנופלים בקפדנות בין השורות x = 0 ו- x = 1. הוא גם ידע שכל האפסים הלא-פרטיים הם סימטריים ביחס ל קו ביקורתי x = 1 / 2. רימן העלה על דעתו כי כל האפסים הלא-פרטיים נמצאים בקו הקריטי, השערה שהתפרסמה לאחר מכן כהשערת רימן.
בשנת 1914 אנגלית מתמטיקאי גודפרי הרולד הארדי הוכיח כי מספר אינסופי של פתרונות של ζ (s) = 0 להתקיים על הקו הביקורתי x = 1 / 2. לאחר מכן הוכח על ידי מתמטיקאים שונים שחלק גדול מהפתרונות חייבים לשכב על הקו הקריטי, אם כי "ההוכחות" התכופות לכך שכל הפתרונות הלא-טריוויאליים נמצאים בו פגמו. מחשבים שימשו גם לבדיקת פתרונות, כאשר עשרת הטריליון פתרונות לא-טריוויאליים ראשונים הוצגו על הקו הקריטי.
הוכחה להשערת רימן תהיה בעלת השלכות מרחיקות לכת על תורת המספרים ועל השימוש בקדשים בקריפטוגרפיה.
השערת רימן נחשבה זה מכבר לבעיה הבלתי פתורה הגדולה ביותר במתמטיקה. זו הייתה אחת מ -10 בעיות מתמטיות לא פתורות (23 בכתובת המודפסת) שהוצגה כאתגר עבור המתמטיקאים מהמאה העשרים על ידי המתמטיקאי הגרמני דייוויד הילברט בקונגרס הבינלאומי למתמטיקה השני בפריס, 8 באוגוסט 1900. בשנת 2000 המתמטיקאי האמריקאי סטיבן סמייל עדכן את הרעיון של הילברט עם רשימת בעיות חשובות למאה ה -21; ההשערה של רימן הייתה מספר אחת. בשנת 2000 הוא הוגדר כ- Millennium Problem, אחת משבע בעיות מתמטיות שנבחרו על ידי המכון למתמטיקה של קליי בקיימברידג ', ארה"ב, לפרס מיוחד. הפתרון לכל בעיה של המילניום שווה מיליון דולר. בשנת 2008 סוכנות הפרויקטים למחקר מתקדם של ההגנה האמריקנית (DARPA) רשמה את זה כאחד האתגרים המתמטיים של DARPA, 23 בעיות מתמטיות שעבורן היא ביקשה הצעות מחקר למימון - "אתגר מתמטי תשע-עשרה: סגר את השערת רימן. הגביע הקדוש של תורת המספרים."
