לוגריתם, המפתח או הכוח שאליו יש להעלות בסיס כדי להניב מספר נתון. ביטוי מתמטי, x הוא הלוגריתם של n לבסיס b אם b x = n, ובמקרה זה כותבים x = log b n. לדוגמה, 2 3 = 8; לפיכך, 3 הוא הלוגריתם של 8 לבסיס 2, או 3 = log 2 8. באותו אופן, מאז 10 2 = 100, ואז 2 = log 10 100. לוגריתמים מהסוג האחרון (כלומר לוגריתמים עם בסיס 10) נקראים לוגריתמים נפוצים או בריגסיאנים וכתובים בפשטות יומן n.
המציא במאה ה -17 כדי לזרז את החישובים, לוגריתמים הקטינו באופן משמעותי את הזמן הדרוש להכפלת מספרים עם מספרים רבים. הם היו בסיסיים בעבודה מספרית במשך למעלה מ -300 שנה, עד שהשלמות של מכונות חישוב מכניות בסוף המאה ה -19 והמחשבים במאה ה -20 הפכו אותם מיושנים לחישובים גדולים. הלוגריתם הטבעי (עם בסיס e ≅ 2.71828 וכתב ln n), עם זאת, ממשיך להיות אחד הפונקציות השימושיות ביותר במתמטיקה, עם יישומים למודלים מתמטיים בכל מדעי הפיזיקה והביולוגיה.
מאפייני לוגריתמים
לוגריתמים אומצו במהירות על ידי מדענים בגלל תכונות שימושיות שונות שפשטו חישובים ארוכים ומייגעים. בפרט, מדענים יכלו למצוא את התוצר של שני מספרים m ו- n על ידי לחפש את הלוגריתם של כל מספר בטבלה מיוחדת, להוסיף את הלוגריתמים יחד, ואז להתייעץ שוב עם הטבלה כדי למצוא את המספר עם אותו לוגריתם מחושב (המכונה האנתוגרוגם שלו). ביטוי במונחים של לוגריתמים נפוצים, מערכת יחסים זו ניתנת על ידי log mn = log m + log n. לדוגמה, ניתן לחשב 100 × 1,000 על ידי חיפוש הלוגריתמים של 100 (2) ו- 1,000 (3), הוספת הלוגריתמים יחדיו (5), ואז מציאת האנטילוגריטם שלה (100,000) בטבלה. באופן דומה, בעיות החלוקה מומרות לבעיות חיסור עם לוגריתמים: log m / n = log m - log n. זה לא הכל; ניתן לפשט את חישוב הכוחות והשורשים בעזרת לוגריתמים. ניתן להמיר לוגריתמים בין כל בסיס חיובי (פרט לכך שלא ניתן להשתמש ב 1 כבסיס מכיוון שכל הכוחות שלו שווים ל 1), כפי שמוצג ב
טבלת החוקים הלוגריתמיים.
רק לוגריתמים למספרים בין 0 ל -10 נכללו בדרך כלל בטבלאות הלוגריתם. כדי להשיג את הלוגריתם של מספר כלשהו מחוץ לטווח זה, המספר נכתב לראשונה בסימון מדעי כתוצר של הספרות המשמעותיות שלו וכוחו האקספוננציאלי - למשל, 358 ייכתב כ- 3.58 × 10 2, ו- 0.0046 ייכתב. כ 4.6 × 10 −3. ואז הלוגריתם של הספרות המשמעותיות - שבר עשרוני בין 0 ל- 1, המכונה המנטיסה - יימצא בטבלה. לדוגמה, כדי למצוא את הלוגריתם של 358, ניתן היה לחפש את יומן 3.58 ≅ 0.55388. לכן, יומן 358 = יומן 3.58 + יומן 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. בדוגמה של מספר עם אקספקט שלילי, כגון 0.0046, ניתן היה לחפש את יומן 4.6 ≅ 0.66276. לכן, יומן 0.0046 = יומן 4.6 + יומן 0.001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.
