דיופנטוס, בשם דיופנטוס מאלכסנדריה, (פרח בערך 250 250), מתמטיקאי יווני, מפורסם בזכות עבודתו באלגברה.
תורת המספרים: דיופנטוס
מבין המתמטיקאים היוונים המאוחרים יותר, ראוי לציון במיוחד דיופנטוס מאלכסנדריה (פרח כ -250), מחבר
מה שמעט ידוע בחייו של דיופנטוס הוא נסיבתי. מתוך הכינוי "אלכסנדריה" נראה שהוא עבד במרכז המדעי העיקרי של העולם היווני הקדום; ומכיוון שהוא לא מוזכר לפני המאה הרביעית, נראה כי הוא פרח במהלך המאה השלישית. יתכן כי ניתן לבטל אפיגראם אריתמטי מתוך האנתולוגיה גריקה של ימי קדם המאוחרים, המתיימר לחזור על כמה נקודות ציון מחייו (נישואין בגיל 33, הולדת בנו בגיל 38, מות בנו ארבע שנים לפני שלו בגיל 84). שתי יצירות צנחו אלינו תחת שמו, שתיהן לא שלמות. הראשונה היא שבר קטן על מספרים מצולעים (מספר הוא מצולע אם ניתן לסדר את אותו מספר נקודות בצורה של מצולע רגיל). השני, מסה גדולה ומשפיעה ביותר עליה נשלחת כל התהילה העתיקה והמודרנית של דיופנטוס, הוא האריתמטיקה שלו. חשיבותה ההיסטורית כפולה: זו היצירה הידועה הראשונה שהעסיקה אלגברה בסגנון מודרני, והיא היוותה השראה ללידתה מחדש של תורת המספרים.
האריתמטיקה מתחילה במבוא שמופנה לדיוניסיוס - אפשר לטעון שסנט דיוניסיוס מאלכסנדריה. אחרי כמה כלליות לגבי מספרים, דיופנטוס מסביר את הסמליות שלו - הוא משתמש בסמלים עבור הלא נודע (המתאים ל- x שלנו) וכוחותיו, חיוביים או שליליים, כמו גם עבור פעולות חשבון - רוב הסמלים הללו הם קיצורים סופיים. זהו המופע הראשון והיחיד של הסמליות האלגברית לפני המאה ה -15. לאחר לימוד הכפלת כוחותיו של הלא נודע, דיופנטוס מסביר את הכפל של מונחים חיוביים ושליליים ואז כיצד ניתן להפחית משוואה לכזו עם מונחים חיוביים בלבד (הצורה הסטנדרטית המועדפת בעת העתיקה). עם הקדמות ראשוניות אלה, דיופנטוס ממשיך לבעיות. אכן, האריתמטיקה היא למעשה אוסף של בעיות עם פתרונות, בערך 260 בחלקם עדיין קיים.
עוד מבוא במבוא כי היצירה מחולקת ל 13 ספרים. שישה מספרים אלה נודעו באירופה בסוף המאה ה -15, הועברו ביוונית על ידי חוקרים ביזנטים ומוספרו מ- I עד VI; ארבעה ספרים נוספים התגלו בשנת 1968 בתרגום לערבית מהמאה ה- 9 על ידי Qusṭā ibn Lūqā. עם זאת, הטקסט הערבי חסר סמליות מתמטית, ונראה שהוא מבוסס על פירוש יווני מאוחר יותר - אולי זה של היפטיה (בערך 370–415) - שדילל את התערוכה של דיופנטוס. אנו יודעים כעת כי יש לשנות את מספור הספרים היוונים: אריתמטיקה מורכבת אפוא מספרים I עד III ביוונית, ספרים IV עד VII בערבית, וככל הנראה, ספרים VIII עד X ביוונית (הספרים היוונים לשעבר IV עד VI). אין צורך לשינוי מחדש של שמות נוספים. זה די בטוח שהביזנטים ידעו רק את ששת הספרים שהעבירו ואת הערבים לא יותר מספרים I עד VII בגירסה המפורשת.
הבעיות של ספר I אינן אופייניות, היות ובעיקר בעיות פשוטות המשמשות להמחשת חשבון נפש אלגברי. המאפיינים הייחודיים של בעיותיו של דיופנטוס מופיעים בספרים המאוחרים יותר: הם בלתי מוגדרים (בעלי יותר מפיתרון אחד), הם בעלי התואר השני או ניתנים לצמצום לתואר השני (הכוח הגבוה ביותר במונחים משתנים הוא 2, כלומר x 2) וסיום בקביעת ערך רציונלי חיובי לא נודע שיעשה ביטוי אלגברי נתון לריבוע מספרי או לפעמים קוביה. (לאורך ספרו דיופנטוס משתמש ב"מספר "כדי להתייחס למה שמכונה כיום מספרים חיוביים, רציונליים; אם כן, מספר ריבועי הוא הריבוע של מספר חיובי, רציונאלי.) ספרים II ו- III מלמדים גם שיטות כלליות. בשלוש בעיות של ספר II מוסבר כיצד לייצג: (1) כל מספר ריבוע נתון כסכום של הריבועים של שני מספרים רציונליים; (2) כל נתון שאינו ריבוע נתון, שהוא הסכום של שני ריבועים ידועים, כסכום של שני ריבועים אחרים; ו (3) כל מספר רציונאלי נתון כהבדל בין שני ריבועים. בעוד שהבעיות הראשונה והשלישית נאמרות באופן כללי, הידע ההנחה על פיתרון אחד בבעיה השנייה מצביע על כך שלא כל מספר רציונאלי הוא סכום של שני ריבועים. מאוחר יותר דיופנטוס נותן את התנאי למספר שלם: המספר הנתון אסור להכיל גורם כלשהו ראשוני מהצורה 4n + 3 המוגבה לכוח מוזר, כאשר n הוא מספר שלם לא שלילי. דוגמאות כאלה הניעו את לידה מחדש של תורת המספרים. למרות שדיופנטוס בדרך כלל מרוצה להשיג פיתרון אחד לבעיה, הוא מזכיר מדי פעם בבעיות שקיים מספר אינסופי של פתרונות.
בספרים IV עד VII מרחיב דיופנטוס שיטות בסיסיות כמו אלה המפורטות לעיל לבעיות בדרגות גבוהות יותר שניתן להקטין למשוואה בינומית של התואר הראשון או השני. מקדמות הספרים הללו קובעות שמטרתן לספק לקורא "ניסיון ומיומנות". אמנם תגלית אחרונה זו אינה מגבירה את הידע במתמטיקה של דיופנטוס, אך היא משנה את הערכת יכולתו הפדגוגית. ספרים VIII ו- IX (יש להניח כי ספרים IV ו- V יוונים) פותרים בעיות קשות יותר, גם אם השיטות הבסיסיות נשארות זהות. לדוגמה, בעיה אחת כרוכה בפירוק מספר שלם מסוים לסכום של שני ריבועים הקרובים זה לזה באופן שרירותי. בעיה דומה כוללת פירוק שלם נתון לסכום של שלושה ריבועים; בתוכו, דיופנטוס מחריג את המקרה הבלתי אפשרי של מספרים שלמים בצורה 8n + 7 (שוב, n הוא מספר שלם לא שלילי). ספר X (יש להניח שיש ספר ו ', יווני) עוסק במשולשים עם זווית ישרה עם צדדים רציונליים וכפוף לתנאים נוספים נוספים.
ניתן לעלות על תוכנו של שלושת הספרים החסרים של האריתמטיקה מההקדמה, שם, לאחר שאמר שצמצום הבעיה צריך "אם אפשר" להסתיים במשוואה בינומית, דיופנטוס מוסיף כי "בהמשך" יטפל בתיק של משוואה טרינוומית - הבטחה שלא התקיימה בחלק הקיים.
למרות שהיה לרשותו כלים אלגבריים מוגבלים, דיופנטוס הצליח לפתור מגוון גדול של בעיות, והאריתמטיקה העניקה השראה למתמטיקאים ערבים כמו אל-קראג'י (בערך 980-1030) ליישם את שיטותיו. ההרחבה המפורסמת ביותר ליצירתו של דיופנטוס הייתה של פייר דה פרמה (1601–65), מייסד תורת המספרים המודרנית. בשולי העותק של אריתמטיקה כתב פרמה הערות שונות, והציע פתרונות, תיקונים והכללות חדשים של שיטותיו של דיופנטוס, כמו גם כמה השערות כמו המשפט האחרון של פרמה, שהעסיק מתמטיקאים במשך דורות. משוואות בלתי מוגדרות המוגבלות לפתרונות אינטגרליים נודעו, אם כי באופן לא הולם, כמשוואות דיופנטיות.
